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初中数学知识点总结大全最新中考数学重点难点归纳2020
2019年09月04日15:52
信息来源:网络

初中数学是一门中考必考的科目,很多同学都在学数学的这条路上吃了很多亏为了学好数学这门科目一定要勤加练习数学的题目,也要多多积累数学的知识点,小编整理了初中数学知识大全:


专题一  数与式

考点1.1、实数的概念及分类

1、 实数的分类

有理数:整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:-3,,0.2310.737373...,,.

无理数:无限不环循小数叫做无理数如:π,-,0.1010010001...(两个1之间依次多10)

实数:有理数和无理数统称为实数.                        

  2、无理数

  在理解无理数时,要抓住"无限不循环"这一时之,它包含两层意思:一是无限小数;二是不循环.二者缺一不可.归纳起来有四类:

  (1)开方开不尽的数,如等;

  (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;

  (3)有特定结构的数,如0.1010010001...等;

  (4)某些三角函数,如sin60o

注意:判断一个实数的属性(如有理数、无理数),应遵循:一化简,二辨析,三判断.要注意:"神似""形似"都不能作为判断的标准.

  3、非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0

常见的非负数有:

      

性质:若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0

  4、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。

  解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。

画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴("三要素"

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

 如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。

   作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

  5、相反数

实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果ab互为相反数,则有a+b=0a=-b,反之亦成立。即:(1)实数的相反数是.(2)和互为相反数.

  6、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。

(1)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即:﹝另有两种写法﹞

(2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.

☆(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零,例如:若,则,,.

注意:│a│≥0,符号"││""非负数"的标志;a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目,只要其中有"││"出现,其关键一步是去掉"││"符号。

  7、倒数

如果ab互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1-1。零没有倒数。

(1)实数(≠0)的倒数是.

 (2)和互为倒数。

 (3)注意0没有倒数.

  8、有效数字

  一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。

  9、科学记数法

  把一个数写做的形式,其中,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。

1)确定:是只有一位整数数位的数.

2)确定n:当原数≥1时,等于原数的整数位数减1;;当原数<1时,是负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)。

例如:-40700=-4.07×1050.0000434.3×10ˉ5

3.近似值的精确度:一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位

4)按精确度或有效数字取近似值,一定要与科学计数法有机结合起来.

10、实数大小的比较

  知识1、数轴

  规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。

  解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。

  知识2、实数大小比较的几种常用方法

  (1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。

  (2)求差比较:设ab是实数,

      

      

      

  (3)求商比较法:设ab是两正实数,

  (4)绝对值比较法:设ab是两负实数,则。

  (5)平方法:设ab是两负实数,则。

11、实数的运算    (做题的基础,分值相当大)

  1、加法交换律

  2、加法结合律

  3、乘法交换律

  4、乘法结合律

  5、乘法对加法的分配律

  6、实数的运算顺序

1. 先算乘方开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。

2. (同级运算)从""""(如5÷×5;(有括号时)""""""

12、有理数的运算:

加法:同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数与0相加不变。

减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。

乘法:两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。任何数与0相乘得0乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法:除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。

乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。

考点1.2、实数与二次根式

  1、平方根

  如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。

  一个正数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

  正数a的平方根记做""

  2、算术平方根

  正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作""

  正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

                  0

                  ;注意的双重非负性:

          -<0)                             0

注意:算术平方根与绝对值

联系:都是非负数,=│a│

区别:│a│中,a为一切实数;中,a为非负数。

3、算术平方根的估算方法:两端逼近法.

例如:估算.(精确到01)∵∴.又

∵6更靠近576  4、立方根

  如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。

  一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。

  注意:,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

  二次根式

  5、二次根式

  式子叫做二次根式,二次根式必须满足:含有二次根号"";被开方数a必须是非负数。

  6、最简二次根式

  若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。

  化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:

  (1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。

  (2)如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

  7、同类二次根式

  几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。

  8、二次根式的性质

  (1

  (2

  (3

4)     注:

  9、根式运算法则:

  加法法则(合并同类二次根式);

  乘、除法法则;

  分母有理化:A.;B.;C..

  10.指数

  ⑴                    (-幂,乘方运算)

① a0时,>0;②a0时,>0n是偶数),<0n是奇数)

零指数:=1a≠0

负整指数:=1/a≠0,p是正整数)

  11、二次根式混合运算

  二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)。

考点1.3、代数式与整式

  1、代数式

  用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

  表示方根的代数式叫做根式。

  含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。    注意:从外形上判断;②区别:、是根式,但不是无理式(是无理数)。

  2、单项式

  只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

  注意:单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如,这种表示就是错误的,应写成。一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。

  注意:系数与指数:区别与联系:从位置上看;②从表示的意义上看

其含义有:

不含有加、减运算符号.

字母不出现在分母里.

单独的一个数或者字母也是单项式.

不含"符号".多项式  3、多项式

  几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。

  单项式和多项式统称整式。

  用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出结果,叫做代数式的值。

  注意:(1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入。

       2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,"整体"代入。

  4、同类项

  所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

    条件:字母相同;②相同字母的指数相同

    合并依据:乘法分配律

  5、去括号法则

  (1)括号前是"+",把括号和它前面的"+"号一起去掉,括号里各项都不变号。

  (2)括号前是"",把括号和它前面的""号一起去掉,括号里各项都变号。

  6、整式的运算法则

   整式的加减法:(1)去括号;(2)合并同类项。

   整式的乘法:             整式的除法:

   注意:(1)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

2)单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同。

3)计算时要注意符号问题,多项式的每一项都包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号。

4)多项式与多项式相乘的展开式中,有同类项的要合并同类项。

5)公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式或多项式。(6)(7)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加,单项式除以多项式是不能这么计算的。

考点1.4、整式的乘除  同上

考点1.5、因式分解

  1、因式分解

  把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

  2、因式分解的常用方法

  (1)提公因式法:

  (2)运用公式法:

  扩展:

              ②                扩展:  或

同理:或

③(ab)(a2abb2)a3b3④(ab)(a2abb2)a3b3a2b2(ab)22ab(ab)2(ab)24ab

公式拓展:

     ⑦⑧     

     

     

  (3)分组分解法:

  (4)十字相乘法:

  3、因式分解的一般步骤:

  (1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式。

  (2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的项数:2项式可以尝试运用公式法分解因式;3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式;4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

  (3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

考点1.6、分式

  1、分式的概念

  一般地,用AB表示两个整式,A÷B就可以表示成的形式,如果B中含有字母,式子就叫做分式。其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

  2、分式的性质

  (1)分式的基本性质:

  分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。

  基本性质:=m≠0

  (2)分式的变号法则:

  分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。

  符号法则:

  3、分式的运算法则    技巧:    

4、繁分式:定义:分子或分母中又含有分式的分式,叫做繁分式.化简方法(两种)通常把繁分式写成分子除以分母的形式,再利用分式的除法法则进行化简.

专题二  方程与不等式

方程的分类

考点2.1  一元一次方程及可以化为一元一次方程的分式方程

一元一次方程的概念

  1、方程

  含有未知数的等式叫做方程。

  2、方程的解

  能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

  3、等式的性质

  (1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。

    a=b←→a+c=b+c

  (2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式。

    a=b←→ac=bc   (c≠0)

  4、一元一次方程

  只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,其中方程叫做一元一次方程的标准形式,a是未知数x的系数,b是常数项。

注意:解法

   一元一次方程的解法:去分母去括号移项合并同类项

系数化成1→解。验根

说明:对于以为未知数的最简方程,若没有给出字母ab的取值范围,其解有下面三种情况:

时一元一次方程,有唯一解.

,时,方程无解.

,时,方程有无数个解.

  分式方程

  5、分式方程

  分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

  6、分式方程的一般方法

  解分式方程的思想是将"分式方程"转化为"整式方程"。它的一般解法是:

  (1)去分母,方程两边都乘以最简公分母

  (2)解所得的整式方程

  (3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根。

  7、分式方程的特殊解法

  换元法:

  换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。

注意.方程的增根与遗根

(1)在方程变形时,能产生不适合原方程的根叫做方程的增根.

(2)在方程变形时,由于盲目变形,在方程的两边同除以含有未知数的代数式,从而导致方程遗根.

  8、常用的相等关系

1. 行程问题(匀速运动)

  基本关系:s=vt

  相遇问题(同时出发):  +=;  追及问题(同时出发):    若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则    水中航行:;

配料问题:溶质=溶液×浓度

溶液=溶质+溶剂

  .增长率问题:

  .工程问题:基本关系:工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位"1")。

  .几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。

  注意语言与解析式的互化

  如,"""""增加了""增加为(到)""同时""扩大为(到)""扩大了"......

  又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为:100a+10b+c,而不是abc

  注意从语言叙述中写出相等关系。

如,xy3,则x-y=3x=y+3x-3=y。又如,xy的差为3,则x-y=3。㈤注意单位换算

如,"小时""分钟"的换算;svt单位的一致等。

  列方程(组)解应用题

  是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是:

  审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。

  设元(未知数)。直接未知数间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。

  用含未知数的代数式表示相关的量。

  寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。

  解方程及检验。

  答案。

  综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。

考点2.2  二元一次方程组

  1、二元一次方程

  含有两个未知数,并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程,它的一般形式是(

  2、二元一次方程的解

  使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解。

  3、二元一次方程组

两个(或两个以上)二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。一般形式:(不全为0

  4二元一次方程组的解

  使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。

  5、二元一次方程组的解法

  基本思想:"消元"

解法:(1)代入法(2)加减法二元一次方程组一元一次方程组.

  6、三元一次方程

  把含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

  7、三元一次方程组

由三个(或三个以上)一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组。(1)一般形式:

(2)解法:

三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组.

考点2.3一元一次不等式〔组〕

1、不等式

  用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。ababa≥ba≤ba≠b

  2、不等式的解集

  对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。

  对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。

  求不等式的解集的过程,叫做解不等式。

  3、用数轴表示不等式的方法

  4、不等式基本性质

、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。

  、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

  、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

   不等式的性质:⑴a>b←→a+c>b+c

        ⑵a>b←→ac>bc(c>0)

        ⑶a>b←→ac<bc(c<0)

        (传递性)a>b,b>c→a>c

        ⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

  5、一元一次不等式

、一元一次不等式的概念

  一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。axbaxbax≥bax≤bax≠b(a≠0)

  、一元一次不等式的解法  (在数轴上表示解集)

  解一元一次不等式的一般步骤:

  (1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1

即通过去分母、去括号、移项合并同类项,把不等式化为()()的形式,再把系数化为1得出不等式的解集.

说明:在去分母和化系数为l时,需特别注意不等式两边同时乘以(或除以)一个负数,要将不等号改变方向,其解集情况如下:

当时,()

当时,()

当时,若,不等式无解(或不等式的解集为一切实数)

当时,若,不等式的解为一切实数(或不等式无解)

6、一元一次不等式组

、一元一次不等式组的概念

  几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。

  几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

  求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。

  当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

  、一元一次不等式组的解法  (在数轴上表示解集)

  (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集

  (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。

即先求出不等式组中每一个不等式的解集,再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即为不等式组的解集.

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中).口诀不等式组解集在数轴上表示

同小取小

同大取大

大小取中

两背为空

不等式组无解

考点2.4  一元二次方程

  1、一元二次方程

  含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

  2、一元二次方程的一般形式

  ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。

3、一元二次方程的解法

  、直接开平方法

  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知,是b的平方根,当时,,,当b<0时,方程没有实数根。

  、配方法

  配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有。

  、公式法

  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。

  一元二次方程的求根公式:    、因式分解法

  因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。

 4、一元二次方程根的判别式

  根的判别式

  一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用""来表示,即

方程有两个不相等的实数根.

方程有两个相等的实数根.

方程无实数根.

方程有两个实数根。反之:一元二次方程有两个不等实根

一元二次方程有两个相等实根

一元二次方程无实根

一元二次方程有两个实根

结论:(1)若二次三项式是完全平方式,则方程的判别式=0

2)方程有实数根,包括两种情况:有两个实数根,,只有一个实数根。

  说明:根的判别式最常见的用法有:

  不解方程判别一元二次方程根的情况。

  由方程根的情况确定某些字母的值或范围.

 5、一元二次方程根与系数的关系

  如果方程的两个实数根是,那么,。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

注意逆定理:若,则以为根的一元二次方程是:。

     常用等式:        

6、一元二次方程的应用题

1)商品利润问题:每件商品利润=售价-进价

涨价时:

  商品总利润=每件商品利润×商品件数=(原来利润+涨价(原来件数-减少件数)

降价时:

  商品总利润=每件商品利润×商品件数=(原来利润-降价(原来件数+增加件数)

2)增长率问题:

(其中是原来数量,是增长次数,是次增长后到达数)

3)矩形内修路问题的常用思路是用平移集中法。

列方程()解应用题,千万不要死记硬背例题的类型及其解法,要具体问题具体分析,一般来讲,应按下面的步骤进行:

1.审题:弄清题意和题目中的已知量、未知量,并能找出能够表示应用问题的全部含义的等量关系.

2.设未知数:选择一个或几个适当的未知量,用字母表示,并根据题目的数量关系,用含未知数的代数式表示相关的未知量.

3.列方程():根据等量关系列出方程()

4.解方程():其过程可以省略,但要注意技巧和方法。

5.检验:首先检查所列方程()是否正确,然后检验所得方程的解是否符合题意.

6.写答:不要忘记单位名称.

7、分式方程的解法

一般解法:去分母法,即方程两边同乘以最简公分母.

特殊解法:换元法.

(2)验根:由于在去分母过程中,当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根.因此,验根是解分式方程必不可少的步骤,一般把整式方程的根的值代人最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.

说明:解分式方程,一般先考虑换元法,再考虑去分母法.

8.二元二次方程组

(1)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.

(2)由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组.

基本解法是:消元,转化为解一元二次方程;降次,转化为解二元一次方程组.

专题三 函数

考点3.1 位置与坐标

1、平面直角坐标系

  在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。

  其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。

  为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

  注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。

  2、点的坐标的概念

  点的坐标用(ab)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有""分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当时,(ab)和(ba)是两个不同点的坐标

点的坐标:设点P是坐标平面内的任一点,由点P向轴作垂线,垂足对应着轴上的一个实数;由点P向轴作垂线,垂足对应着轴上一个实数,则点P的坐标就是(),其中叫点P的横坐标,叫做点P的纵坐标.

说明:点的坐标的定义实际上给出了求点的坐标的一种非常重要的方法,要注意横坐标与纵坐标的顺序不能颠倒.

 3、不同位置的点的坐标的特征

1﹞、各象限内点的坐标的特征

P(x,y)在第一象限

  点P(x,y)在第二象限

  点P(x,y)在第三象限

  点P(x,y)在第四象限

  ﹝2﹞、坐标轴上的点的特征

  点P(x,y)x轴上,x为任意实数

  点P(x,y)y轴上,y为任意实数

  点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上xy同时为零,即点P坐标为(00

  ﹝3﹞、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

  点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上xy相等

  点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上xy互为相反数

  ﹝4﹞、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

  位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

  位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

  ﹝5﹞、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点关于x轴的对称点是.

点关于y轴的对称点是.

点关于原点的对称点是.

  ﹝6﹞、点到坐标轴及原点的距离

  点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:

  点P(x,y)x轴的距离等于

  点P(x,y)y轴的距离等于

  点P(x,y)到原点的距离等于

.﹝7(1)PQ∥x轴,则.

          (2)PQ∥y轴,则.

8﹞.若,,当是线段AB的中点时

*9.若,,则

10﹞.坐标平面内的点和有序实数对(xy)之间建立了一一对应关系.

  考点3.2   函数的表示

函数的概念

1.常量与变量:在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量;在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量.

2.函数:在某一变化过程中的两个变量xy,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值和它对应,那么y就叫做x的函数,其中x做自变量,y是因变量.

(1)自变量取值范围的确定

整式函数自变量的取值范围是全体实数.

分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数.

二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数,若涉及实际问题的函数,除满足上述要求外还要使实际问题有意义.

(2)函数值:对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值.

3.函数常用的表示方法:解析法、列表法、图象法.由函数的解析式作函数的图象,一般步骤是:列表、描点、连线.

  考点3.3  一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

  一般地,如果(kb是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。

  特别地,当一次函数中的b0时,(k为常数,k0)。这时,y叫做x的正比例函数。

说明:直线位置与常数的关系

(1)决定直线的倾斜角(直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角的大小)

倾斜角为锐角.

直线过点(0b)且平行于x轴的直线.

倾斜角为钝角.

(2)b决定直线与y轴交点的位置.

①b>0直线与y轴交点在x轴的上方.

②b=0直线过原点.

③b<0直线与y轴交点在x轴的下方;

(3)如图l

(4)如图2

(5)设直线上有两点,,则

  2、一次函数的图像

  所有一次函数的图像都是一条直线函数解析式

自变量取值范围图象增减性

正比例函数

全体实数

k>0时,yx增大而增大;

k><0时,yx增大而减小。

一次函数

全体实数

3、 一次函数、正比例函数图像的主要特征:

  一次函数的图像是经过点(0b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(00)的直线。k的符号b的符号

函数图像

图像特征k>0b>0y0           x

  图像经过一、二、三象限,yx的增大而增大。b<0y

0           x

  图像经过一、三、四象限,yx的增大而增大。k<0b>0y0           x

图像经过一、二、四象限,yx的增大而减小b<0y

0          x

图像经过二、三、四象限,yx的增大而减小。

注:当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。

  4、正比例函数的性质

  一般地,正比例函数有下列性质:

  (1)当k>0时,图像经过第一、三象限,yx的增大而增大;

  (2)当k<0时,图像经过第二、四象限,yx的增大而减小。

  5、一次函数的性质

  一般地,一次函数有下列性质:

  (1)当k>0时,yx的增大而增大

  (2)当k<0时,yx的增大而减小

  6、正比例函数和一次函数解析式的确定

  确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数kb。解这类问题的一般方法是待定系数法。

斜率: b为直线在y轴上的截距

直线的斜截式方程,简称斜截式: ykxb(k≠0)

由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两点式:

由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距

式方程,简称截距式:

设两条直线分别为,:  :  若,则有且。   若

Px0y0)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0) 的距离:

  考点3.4、反比例函数

  1、反比例函数的概念

  一般地,函数(k是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。

  2、反比例函数的图像

  反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0,函数y0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

  3、反比例函数的性质

反比例函数k的符号k>0k<0图像yO             xyO              x性质①x的取值范围是x0

y的取值范围是y0

k>0时,函数图像的两个分支分别

 在第一、三象限。在每个象限内,y

 随x 的增大而减小。

①x的取值范围是x0

y的取值范围是y0

k<0时,函数图像的两个分支分别

 在第二、四象限。在每个象限内,y

 随x 的增大而增大。

  4、反比例函数解析式的确定

  确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。

5、的几何意义

  设是反比例函数图象上任一点,过点P作轴、轴的垂线,垂足为A,则

1△OPA的面积.

2)矩形OAPB的面积。这就是系数的几何意义.并且无论P怎样移动,△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。

  矩形PCEF面积=,平行四边形PDEA面积=          考点3.5、   二次函数

二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

  一般地,如果,那么y叫做x 的二次函数。

  叫做二次函数的一般式。

  2、二次函数的图像

  二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。

  抛物线的主要特征:

  有开口方向;有对称轴;有顶点。

  3、二次函数图像的画法

  五点法:

  (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴

  (2)求抛物线与坐标轴的交点:

  当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。

  当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由CMD三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点AB,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。

  4、二次函数的解析式    (10~16分)

  二次函数的解析式有三种形式:

  (1)一般式:

  (2)顶点式:

  (3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根和存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。

注意:抛物线位置由决定.

 (1)决定抛物线的开口方向

开口向上.

开口向下.

 (2)决定抛物线与y轴交点的位置.

图象与y轴交点在x轴上方.

图象过原点.

图象与y轴交点在x轴下方.

 (3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴:)

同号对称轴在y轴左侧.

对称轴是y轴.

异号对称轴在y轴右侧.

 (4)顶点坐标.

 (5)决定抛物线与x轴的交点情况.、

 ①△>0抛物线与x轴有两个不同交点.

 ②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)

 ③△<0抛物线与x轴无公共点.

 (6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断.

  a>0时,抛物线有最低点,函数有最小值.

  a<0时,抛物线有最高点,函数有最大值.

7)的符号的判定:

  表达式,请代值,对应y值定正负;

  对称轴,用处多,三种式子相约;

  轴两侧判,左同右异中为0

  1的两侧判,左同右异中为0

  -1两侧判,左异右同中为0.

 (8)函数图象的平移:左右平移变x,左+右-;上下平移变常数项,上+-;平移结果先知道,反向平移是诀窍;平移方式不知道,通过顶点来寻找。

 (9)对称:关于x轴对称的解析式为,关于y轴对称的解析式为,关于原点轴对称的解析式为,在顶点处翻折后的解析式为(a相反,定点坐标不变)。

 (10)结论:二次函数(x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上Δ=0

二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称;

二次函数(经过原点,则。

 (11)二次函数的解析式:

一般式:(,用于已知三点。

顶点式:,用于已知顶点坐标或最值或对称轴。

3)交点式:,其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。若已知对称轴和在x轴上的截距,也可用此式。

5、二次函数的最值    (10分)

  如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。

  如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,yx的增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,yx的增大而减小,则当时,,当时,。

6、二次函数的性质

二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0y

0                   xy0      x性质(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;

2)对称轴是x=,顶点坐标是(,);

3)在对称轴的左侧,即当x<时,yx的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>时,yx的增大而增大,简记左减右增;

4)抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,

1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;

2)对称轴是x=,顶点坐标是(,);

3)在对称轴的左侧,即当x<时,yx的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>时,yx的增大而减小,简记左增右减;

4)抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,

  7、二次函数中,的含义:

  表示开口方向:>0时,抛物线开口向上

                  <0时,抛物线开口向下

  与对称轴有关:对称轴为x=

  表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,)

  8、二次函数与一元二次方程的关系

  一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

  因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

  当>0时,图像与x轴有两个交点;

  当=0时,图像与x轴有一个交点;

  当<0时,图像与x轴没有交点。

  补充:

  1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)

                                                                    y

  如图:点A坐标为(x1y1)点B坐标为(x2y2

  则AB间的距离,即线段AB的长度为            A  0 x1                                                                B        2、函数平移规律(中考试题中,只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)

  左加右减、上加下减

开口方向对称轴直线直线直线

顶点坐标()增减性

当时,在对称轴左侧,y随着x的增大而减少;在对称轴右侧,y随着x的增大而增大;当时,在对称轴左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴右侧,y随着x的增大而减少;最值当,当,当,求用代入法  考点3.6、   二次函数的应用题

考点3.7、   用函数观念看方程与不等式

方程思想

数学思想             函数思想

转化思想

数形结合

分类讨论

y 0  一元一次方程   kxb 0    直线与x轴交点

y0                  kxb 0    x轴上方部分

y0  一元一次不等式  kxb 0    x轴下方部分

二元一次方程组  解是坐标  坐标是解

y0一元二次方程  =0   x轴交点

y0                0   x轴上方部分

y0一元二次不等式 <0  x轴下方部分

解是横坐标  横坐标是解

专题四 空间图形与证明

考点4.1  点 线 面 相交线 平行线和视图

直线、射线和线段

1、几何图形

  从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。

  立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。

  平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。

  2、点、线、面、体

  (1)几何图形的组成

  点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。

  线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。

  面:包围着体的是面,分为平面和曲面。

  体:几何体也简称体。

  (2)点动成线,线动成面,面动成体。

  3、直线的概念

  一根拉得很紧的线,就给我们以直线的形象,直线是直的,并且是向两方无限延伸的。

  4、射线的概念

  直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。

  5、线段的概念

  直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。

  6、点、直线、射线和线段的表示

  在几何里,我们常用字母表示图形。

  一个点可以用一个大写字母表示。

  一条直线可以用一个小写字母表示。

  一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。

  一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。

  注意:

  (1)表示点、直线、射线、线段时,都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。

  (2)直线和射线无长度,线段有长度。

  (3)直线无端点,射线有一个端点,线段有两个端点。

  (4)点和直线的位置关系有线面两种:

  点在直线上,或者说直线经过这个点。

  点在直线外,或者说直线不经过这个点。

  7、直线的性质

  (1)直线公理:经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。它可以简单地说成:过两点有且只有一条直线。

  (2)过一点的直线有无数条。

  (3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。

  (4)直线上有无穷多个点。

  (5)两条不同的直线至多有一个公共点。

  8、线段的性质

  (1)线段公理:所有连接两点的线中,线段最短。也可简单说成:两点之间线段最短。

  (2)连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。

  (3)线段的中点到两端点的距离相等。

  (4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

  9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

  垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

  线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

  逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

    角

  10、角的相关概念

  有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。

  当角的两边在一条直线上时,组成的角叫做平角。

  平角的一半叫做直角;小于直角的角叫做锐角;大于直角且小于平角的角叫做钝角。

  如果两个角的和是一个直角,那么这两个角叫做互为余角,其中一个角叫做另一个角的余角。

  如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫做互为补角,其中一个角叫做另一个角的补角。

  11、角的表示

  角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示,具体的有一下四种表示方法:

  用数字表示单独的角,如∠1∠2∠3等。

  用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α∠β∠γ∠θ等。

  用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B∠C等。

  用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD∠BAE∠CAE等。

  注意:用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。

  12、角的度量

  角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用"°"表示,1度记作"1°"n度记作"n°"

  把的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作"1'"

  把1' 的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作"1""

  1°=60'=60"

  13、角的性质

  (1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

  (2)角的大小可以度量,可以比较

  (3)角可以参与运算。

  15、角的平分线及其性质

  一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。

  角的平分线有下面的性质定理:

  (1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

  (2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

 相交线

  16、相交线中的角

  两条直线相交,可以得到四个角,我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。

  临补角互补,对顶角相等。

  直线ABCDEF相交(或者说两条直线ABCD被第三条直线EF所截),构成八个角。其中∠1∠5这两个角分别在ABCD的上方,并且在EF的同侧,像这样位置相同的一对角叫做同位角;∠3∠5这两个角都在ABCD之间,并且在EF的异侧,像这样位置的两个角叫做内错角;∠3∠6在直线ABCD之间,并侧在EF的同侧,像这样位置的两个角叫做同旁内角。

  17、垂线

  两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。

  直线ABCD互相垂直,记作"AB⊥CD"(或"CD⊥AB"),读作"AB垂直于CD"(或"CD垂直于AB")。

  垂线的性质:

  性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

  性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。

  平行线    3~8分)

18、平行线的概念

  在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号"∥"表示,如"AB∥CD",读作"AB平行于CD"

  同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。

  注意:

  (1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。

  (2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。

  19、平行线公理及其推论

  平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

  推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

  20、平行线的判定

  平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。简称:同位角相等,两直线平行。

  平行线的两条判定定理:

  (1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。简称:内错角相等,两直线平行。

  (2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。简称:同旁内角互补,两直线平行。

  补充平行线的判定方法:

  (1)平行于同一条直线的两直线平行。

  (2)垂直于同一条直线的两直线平行。

  (3)平行线的定义。

  21、平行线的性质

  (1)两直线平行,同位角相等。

  (2)两直线平行,内错角相等。

  (3)两直线平行,同旁内角互补。

  命题、定理、证明

22、命题的概念

  判断一件事情的语句,叫做命题。

  理解:命题的定义包括两层含义:

  (1)命题必须是个完整的句子;

  (2)这个句子必须对某件事情做出判断。

    命题的分类(按正确、错误与否分)

         真命题(正确的命题)

  命题

         假命题(错误的命题)

  所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。

  所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。公理  人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。

  定理

  用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

  证明

  判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

  证明的一般步骤

  (1)根据题意,画出图形。

  (2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。

  (3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。

  投影与视图

23、投影

  投影的定义:用光线照射物体,在地面上或墙壁上得到的影子,叫做物体的投影。

  平行投影:由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。

  中心投影:由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

  24、视图

  当我们从某一角度观察一个实物时,所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

  主视图:在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图。

  俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图。

  左视图:在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图,有时也叫做侧视图。

考点4.2、三角形及全等

三角形知识结构

1、三角形的概念

  由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。

  2、三角形中的主要线段

  (1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

  (2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

  (3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。

  3、三角形的稳定性

  三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广,需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

  4、三角形的特性与表示    

  三角形有下面三个特性:

  (1)三角形有三条线段

  (2)三条线段不在同一直线上    三角形是封闭图形

  (3)首尾顺次相接

  三角形用符号""表示,顶点是ABC的三角形记作"ABC",读作"三角形ABC"

  5、三角形的分类

  三角形按边的关系分类如下:

           不等边三角形

  三角形                   底和腰不相等的等腰三角形

           等腰三角形

                           等边三角形

  三角形按角的关系分类如下:

           直角三角形(有一个角为直角的三角形)

  三角形                锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)

           斜三角形

                        钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)

  把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

  6、三角形的三边关系定理及推论

  (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。

  推论:三角形的两边之差小于第三边。

  (2)三角形三边关系定理及推论的作用:

  判断三条已知线段能否组成三角形

  当已知两边时,可确定第三边的范围。

  证明线段不等关系。

  7、三角形的内角和定理及推论

  三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°

  推论:

  直角三角形的两个锐角互余。

  三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

  三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

  注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。

  8、三角形的面积    三角形的面积×

  全等三角形

1、全等三角形的概念

  能够完全重合的两个图形叫做全等形。

  能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

  2、全等三角形的表示和性质

  全等用符号"≌"表示,读作"全等于"。如△ABC≌△DEF,读作"三角形ABC全等于三角形DEF"

  注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

  3、三角形全等的判定

  三角形全等的判定定理:

  (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成"边角边""SAS"

  (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成"角边角""ASA"

  (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成"边边边""SSS")。

  直角三角形全等的判定:

  对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成"斜边、直角边""HL"

  4、全等变换

  只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

  全等变换包括一下三种:

  (1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

  (2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。

  (3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。

考点4.3 等腰三角形

1、等腰三角形的性质

  (1)等腰三角形的性质定理及推论:

  定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)

  推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

  推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°

  (2)等腰三角形的其他性质:

  等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

  等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。

  等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,则<a

  等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A,底角为∠B∠C,则∠A=180°-2∠B∠B=∠C=

  2、等腰三角形的判定

  等腰三角形的判定定理及推论:

  定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

  推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形

  推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

  推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。        

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形性质

等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角;

2、等腰三角形两腰上的中线相等,并且它们的交点与底边两端点距离相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形;

2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角),那么这个三角形是等腰三角形

角平分线

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边;

2、等腰三角形两底角平分线相等,并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边),那么这个三角形是等腰三角形;

2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边;

2、等腰三角形两腰上的高相等,并且它们的交点和底边两端点距离相等。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角),那么这个三角形是等腰三角形;

2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角

等角对等边边底的一半<腰长<周长的一半

两边相等的三角形是等腰三角形

  4、三角形中的中位线

  连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

  (1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。

  (2)要会区别三角形中线与中位线。

  三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。

  三角形中位线定理的作用:

  位置关系:可以证明两条直线平行。

  数量关系:可以证明线段的倍分关系。

  常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:

  结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。

  结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

  结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

  结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

  结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

  注意:重要辅助线

  中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线

证明方法

  直接证法:综合法、分析法

  间接证法-反证法:反设归谬结论

  证线段相等、角相等常通过证三角形全等

  证线段倍分关系:加倍法、折半法

  证线段和差关系:延结法、截余法

  证面积关系:将面积表示出来

考点4.4  直角三角形

1、有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形。

  直角三角形可用Rt△表示,如直角三角形ABC写作Rt△ABC

  直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:2、性质  性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

  性质2:在直角三角形中,两个锐角互余

  性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径RC/2)。

  性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

  性质5: 射影定理

  在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项

  ∠ACB=90°

        

  CD⊥AB    (4)ABCD=ACBC(可用面积来证明)

  (5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,

  (6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)

                            r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)

  性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;

  在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°

3、判定方法:

  判定1:有一个角为90°的三角形是直角三角形。

  判定2:一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。

  判定3: 勾股定理的逆定理

  如果三角形的三边长abc有关系,那么这个三角形是直角三角形。

    判定4:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

  判定5:两个锐角互余的三角形是直角三角形。

  判定6:在直角三角形中,60度内角所对的直角边等于斜边的 根号3/2

判定7:在证明直角三角形全等的时候 可以利用HL 两个三角形的斜边长对应相等 以及一个直角边对应相等 可判断两直角

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